Teorema de Pitágoras generalizado.

Teorema de Pitágoras Generalizado: c² = a²+b²

El Teorema de Pitágoras es solo para triángulos rectángulos y nos da el valor del cuadrado del lado opuesto a la hipotenusa en función de los catetos.


Para triángulos no rectángulos, se puede hallar también el valor del cuadrado de un lado, por el Teorema Generalizado de Pitágoras.
El teorema generalizado de Pitágoras para el caso particular de un triángulo rectángulo, coincide con el teorema de Pitágoras.
Para hallar el cuadrado de uno de sus lados, por ejemplo el lado ''a'' trazaremos la altura sobre cualquiera de los otros dos lados.

Cuadrado del lado opuesto a un ángulo agudo:

Para hallar el cuadrado de uno de sus lados, por ejemplo el lado ''a'' trazaremos la altura sobre cualquiera de los otros dos lados.

La altura divide el triángulo en dos triángulos rectángulos.

Por ser CDB triángulo rectángulo, podemos aplicarle el teorema de Pitágoras:

a² = h²+ n ²  = h² + n² - 2 c m

Como ADC también es un triángulo rectángulo, por el teorema de Pitágoras:

                                                 b² = h²⁺ m²

Teorema generalizado de Pitágoras dice lo siguiente:

"El cuadrado del lado opuesto a un ángulo agudoes igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menosel doble producto de uno de ellos por la proyección del otro sobre él"

a² = b² + c² - 2 c · n

a² = b² + c² - 2 c · n

Cuadrado del lado opuesto a un ángulo obtuso:

Para hallar el cuadrado de lado opuesto al ángulo obtuso, trazaremos la altura sobre cualquiera de los otros dos lados. En la siguiente figura, se ha trazado la altura sobre el lado "c".

Como se ve en la figura anterior, al trazar la altura, aparecen dos triángulos rectángulos, a los que podremos aplicar el teorema de Pitágoras.

Por ser CDB triángulo rectángulo, y por el teorema de Pitágoras:

a² = h²+ (c + m)² = h² + c²+ m² + 2 c m

Como CDA también es un triángulo rectángulo, y otra vez, por el teorema de Pitágoras:    

                           b² = h²+ m² ⇒ h² = b²- m²

El teorema generalizado de Pitágoras dice:

"El cuadrado del lado opuesto a un ángulo obtusoes igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados más el doble producto de uno de ellos por la proyección del otro sobre él"

a² = b² + c²+ 2 c m

a² = b² + c² + 2 c m

EJERCICIO RESUELTO DE LOS TRES TEOREMAS:

En el triángulo de la figura calcula la hipotenusa, las proyecciones de los catetos y la altura.

 -Aplicando el Teorema de Pitágoras:

Hipotenusa= 1202 + 160 2 = 200

-Aplicando el Teorema del Cateto:

pc(a)=1202/200=72 y pc(b)=200–72=128

-Con el Teorema de la Altura:

alt= 72 ⋅ 128 = 96