Videos relacionados con la semejanza

El número áureo y su razón:
Este número solo se da en ciertos rectángulos, y se calcularía cogiendo la longitud de uno de los lados dividiéndolo entre la longitud del lado corto,obtendremos un número muy especial el número de oro.

Este número lo descubrieron los griegos de esta manera:
Quisieron dividir un segmento buscando la razón entre la parte mayor del segmento y la parte menor que coincidiesen con la razón entre la longitud total y la longitud de la parte mayor.

En esta expresión se pone en manifiesto la vinculación estrecha entre el número de oro y la raíz de 5.

Número áureo

Matemáticas y realidad:

En este video vemos como alumnos se basan en La alhambra de Granada para realizar algunas maquetas.

Diseñan maquetas de colegios, chalés con los alicatados, o figuras y mosaicos que se encuentran en paredes, bóvedas o columnas.

Otro concepto matemático que encontramos en la realidad esel número e, con el podemos calcular la edad de un fósil o incluso precedir la evolución de una epidemia.

También utilizamos la Escala de Richter, para calcular la energía que desprende un seismo, en esta escala el salto entre unidades es en la realidad un salto de 10 veces.

Esta escala tambien se utiliza para saber el brillo de las estrellas o el nivel de ruido(contaminación acústica), por medio del decibelio.
En este video vemos un dicho de Francias Bacon:

La Historia hace ilustrado al hombrem,

La Poesía, ingenioso,

Las Matemáticas, sutil.

Matemáticas y realidad

Movimientos en el plano.

En este vídeo se muestra del desplazamiento de figuras, simetría entre ellas, desplazamiento de cuerpos, giros de estos y algunos ejemplos en el mundo del arte
su funcionalidad es entre otras:

-La traslación de un cuerpo de un punto a otro del plano para conseguir una copia.
-El giro de figuras sobre un punto de referencia fijo en el plano para ladearla.
-La simetría con el fin de obtener una copia simétrica del objeto o para percibir ilusiones opticas.
-Los frisos (en el caso de arte) linea continuada de copias de un mismo objeto.
-Los mosaicos lo componen cuerpos geométricos idénticos o diferentes que dispuestos de manera circular sumen 360 grados
Los movimientos han estado presentes desde mucho antes de grecia y roma
en la costrucción de edificios como templos faraónicos simétricos, estatuas,
muros adornados con frisos o casas de clase alta y media con grandes y lujosos mosaicos.

Movimiento en el plano

Figuras semejantes.

Las figuras semejantes son las que mediante movimientos como giros, traslaciones y simetrías pueden coincidir.
Para que dos polígonos sean semejantes basta con que los lados homólogos sean proporcionales y sus ángulos iguales.

Es decir que A/B es lo mismo que A'/B'

y sus ángulos son también iguales.

Comprobación

a=5

b=7

a'=10

b'=14

Si dividimos 5/7=0,7143

Si dividimos 10/14=0,7143

Tienen el mismo resultado por lo que son figuras semejantes.

EJERCICIO RESUELTO.

Teorema de Tales.

Como definición previa del teorema, es necesario saber que dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos correspondientes iguales y sus lados son proporcionales entre sí. El teorema de Tales recoge uno de los resultados más básicos de la geometría:

 Si dos rectas cualesquieras se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra.

AB/A'B'=BC/B'C'=AC/A'C'

EJERCICIO RESUELTO

Las rectas a, b y c son paralelas. Halla la longitud de x.

14/10 = x/4

x = 56/10

x= 5.6

Triángulos semejantes.

EJERCICIO RESUELTO
Los catetos de un triángulo rectángulo que miden 24 m y 10 m. ¿Cuánto medirán los catetos de un triángulo semejante al primero cuya hipotenusa mide 52 m?

Teorema del cateto.

Este teorema dice que el cateto al cuadrado es igual a la hipotenusa por el cateto reflejado en la hipotenusa del triángulo rectángulo que se forma al trazar la altura:

p:cateto reflejado en la hipotenusa.
a: la hipotenusa.
c:cateto.

Comprobación del Teorema del Cateto:


El triángulo y el triángulo rectángulo que se forma son semejantes, por lo que cumplen el Teorema de Tales. Y cumple el teorema del cateto --> c·c = n (proyección del cateto) · a

Triángulos acutángulos y obtusángulos:

Para estos triángulos la fórmula cambia:

Acutángulo: A> 90º

Obtusángulo: A< 90º

EJERCICIO RESUELTO:

Antonio y Víctor tienen sus casas en la misma acera de una calle recta. Todos los días van a un polideportivo que forma triángulo rectángulo con sus casas. Observa la figura y responde:
A)¿A qué distancia está la casa de Víctor del polideportivo?
B)¿Qué distancia separa ambas casas?

Solución:

Necesitamos calcular x e y:

-Para calcular x se calcula el valor de la hipotenusa, que llamaremos z, aplicando el teorema del cateto:
7,52·7,52= 4,5 · z --> 56,25 = 4,5 · z --> z =12,5 km
Así, la distancia entre ambas casas es de 12,5 km.
-Calculamos y aplicando, de nuevo, el teorema del cateto:
y ·y = x · z -> (12,5 - 4,5 )· 12,5 -(y·y = > y ·y = 8 · 12,5 --> y·y =100 ->y=10km
Entre la casa de Víctor y el polideportivo hay 10 km.

Teorema de la altura.

Este es un teorema solo para triángulos rectángulos:

Este teorema dice que la altura del triángulo al cuadrado es igual al productos de los catetos reflejados en la hipotenusa.
-pc y pb son los catetos que se reflejan en la hipotenusa.


-Comprobación del Teorema de la altura:

- Los triángulos son semejantes, por el teorema de Tales : a/pb = pc/a, lo que es lo mismo a:
a·a= pc · pb 
 

-EJERCICIO RESUELTO:

 - 2º EJERCICIO RESUELTO:


Calcula el radio de la semicircunferencia de la figura.

Aplicando el Teorema de la altura: 36=4·p ⇒ p=9
Luego el diámetro = 9+4=13 y el radio = 6,5

Teorema de Pitágoras generalizado.

Teorema de Pitágoras Generalizado: c² = a²+b²

El Teorema de Pitágoras es solo para triángulos rectángulos y nos da el valor del cuadrado del lado opuesto a la hipotenusa en función de los catetos.


Para triángulos no rectángulos, se puede hallar también el valor del cuadrado de un lado, por el Teorema Generalizado de Pitágoras.
El teorema generalizado de Pitágoras para el caso particular de un triángulo rectángulo, coincide con el teorema de Pitágoras.
Para hallar el cuadrado de uno de sus lados, por ejemplo el lado ''a'' trazaremos la altura sobre cualquiera de los otros dos lados.

Cuadrado del lado opuesto a un ángulo agudo:

Para hallar el cuadrado de uno de sus lados, por ejemplo el lado ''a'' trazaremos la altura sobre cualquiera de los otros dos lados.

La altura divide el triángulo en dos triángulos rectángulos.

Por ser CDB triángulo rectángulo, podemos aplicarle el teorema de Pitágoras:

a² = h²+ n ²  = h² + n² - 2 c m

Como ADC también es un triángulo rectángulo, por el teorema de Pitágoras:

                                                 b² = h²⁺ m²

Teorema generalizado de Pitágoras dice lo siguiente:

"El cuadrado del lado opuesto a un ángulo agudoes igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menosel doble producto de uno de ellos por la proyección del otro sobre él"

a² = b² + c² - 2 c · n

a² = b² + c² - 2 c · n

Cuadrado del lado opuesto a un ángulo obtuso:

Para hallar el cuadrado de lado opuesto al ángulo obtuso, trazaremos la altura sobre cualquiera de los otros dos lados. En la siguiente figura, se ha trazado la altura sobre el lado "c".

Como se ve en la figura anterior, al trazar la altura, aparecen dos triángulos rectángulos, a los que podremos aplicar el teorema de Pitágoras.

Por ser CDB triángulo rectángulo, y por el teorema de Pitágoras:

a² = h²+ (c + m)² = h² + c²+ m² + 2 c m

Como CDA también es un triángulo rectángulo, y otra vez, por el teorema de Pitágoras:    

                           b² = h²+ m² ⇒ h² = b²- m²

El teorema generalizado de Pitágoras dice:

"El cuadrado del lado opuesto a un ángulo obtusoes igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados más el doble producto de uno de ellos por la proyección del otro sobre él"

a² = b² + c²+ 2 c m

a² = b² + c² + 2 c m

EJERCICIO RESUELTO DE LOS TRES TEOREMAS:

En el triángulo de la figura calcula la hipotenusa, las proyecciones de los catetos y la altura.

 -Aplicando el Teorema de Pitágoras:

Hipotenusa= 1202 + 160 2 = 200

-Aplicando el Teorema del Cateto:

pc(a)=1202/200=72 y pc(b)=200–72=128

-Con el Teorema de la Altura:

alt= 72 ⋅ 128 = 96

 

¿Que significa que dos figuras son semejantes?

Dos figuras son semejantes cuando tienen la misma forma y sus dimensiones son proporcionales.

Razón de semjanzas en longitudes.

Si dos figuras A y B son semejantes,se llama razón de semejanza de la figura B sobre la A al cociente entre la longitud de un segmento de la figura B y la de su homólogo en la figura A.

EJERCICIO RESUELTO:

Razón de semejanzas en áreas.

Si dos figuras A y B son semejantes el conciente entre el área de B y el área de A es el cuadrado de la razón de semejanza de la figura B sobre la A.
EJERCICIO RESUELTO:

Razón de semejanzas en volúmenes.

Si dos figuras A y B son semejantes, el cociente entre el volumen de B y el de A es el cubo de la razón de la figura B sobre la A.

EJERCICIO RESUELTO:

Escalas.

Los mapas o planos de viviendas suelen indicar la escala de esta manera
1:2500000(en algún mapa de carreteras) o 1:250 (en el plano de una vivienda).



Para saber aplicar las escalas a longitudes áreas y volúmenes solo hay que recordar las siguientes fórmulas:


 Escala=1:I


I = distancia real /distancia en plano
I²= Área real /Área en el plano
I³=Volumen real/Volumen en maqueta

Distancias inaccesibles.

Conocemos como distancias inaccesibles aquellas distancias cuyo cálculo resulta demasiado complicado como para medirlo con las herramientas de las que normalmente disponemos. Por ejemplo: La distancia entre Sol/Luna o Sol/Tierra